Обучение

1 год назад

Мультивходы с точки зрения математики

С самого рождения дэйли фэнтези, мультивходы вызывали бурю эмоции у игроков. Профессиональные игроки всегда ратовали за мультивходы, утверждая, что именно большое количество заявляемых ими команд обеспечивает огромные призы в топовых турнирах. Некоторые казуальные игроки были в ярости, видя в этом ущемление своих интересов, не имея возможности заявлять такое же количество команд.

Представляем вашему вниманию расширенную и дополненную примерами интерпретацию статьи edmiller о мультивходах с точки зрения математики. Отбрасывая эмоции на второй план, объясним, что такое ROI и математическое ожидание, а также развеем несколько мифов о мультивходах. 

 

Введение

Для начала разберемся есть ли смысл делать мультивходы в GPP турниры с точки зрения математики.

GPP (Guaranteed Prize Pool) — это турниры, где только некоторое количество участников получают призы (в диапазоне от 10 до 20 процентов). В подобных турнирах имеется некоторый гарантированный призовой фонд.

Разберем пример с призовым фондом в €10,000 при взносах игроков в €11 (10 из которых идут в призовой фонд, 1 — площадке в виде рейка). Если количество участников превысило 1,000, то призовой фонд составит (€10 * кол-во входов), если не превысило — то ровно €10,000. Этот призовой фонд и распределяется между победителями.

Мультивходы — заявление одним фентези-менеджером различных составов в один и тот же турнир.

Возьмем отдельного фентезиста Васю. Если площадка не имеет никаких ограничений на количество входов от одного пользователя, то Вася может скупить сколько угодно «билетов». Он очевидно повысит свои шансы на первое место. Но тут возникает другой вопрос: насколько ему самому это выгодно?

 

ROI и математическое ожидание

Прежде чем поговорить о ROI математическом ожидании, давайте взглянем на понятия «повышение шансов» и «выгода» с математической точки зрения на примерах.

Итак, представим некоторая монетка подбрасывается N раз. Пусть, например, N=1000. Монета эта искривлена таким образом, что орел выпадает с вероятностью p = 0.1 (10%). Выпадение орла обозначим за 1, а выпадение решки — за ноль.

Допустим мы подбросили монетку N раз, тогда имеем, например, вот такой исход:

X = x1x2….xN = 000001001000100…00010.

На месте каждой из N позиций может выпасть 1 (орел) или решка (0) — итого 2 комбинации. Так как такие подбрасывания независимы, то всего имеем 2N комбинаций.

Кто-то решил превратить это все в лотерею и продавать билеты, где каждый билет это X = x1x2….xN из нулей и единиц. Каждый такой билет стоит 1 Евро. Главный приз — один миллион евро.

Вы, разумеется, хотите эту лотерею выиграть. Давайте попробуем ответить на эти вопросы, используя интуитивные доводы (подробное решение смотрите тут).


1. Вы можете купить всего один билет. Как вы думаете, какой из билетов с большей вероятностью может выпасть?


Ответ: Cценарий, где выпадают все решки наиболее вероятен (еще бы, ведь каждый раз она имеет 90% вероятность выпасть, в то время как орел – всего 10). То есть, берем вот такой билет:  x1x2….xN = 00000000…00000.

 

2. Вы хотите победить с 99% вероятностью с наименьшими затратами. Какие билеты стоит брать?


Ответ: Исходя из выводов, сделанных в предыдущем ответе, выгоднее брать следующие билеты:
 

  • Все нули

  • Все билеты с только одной единицей

  • Все билеты с двумя единицами

  • Все билеты с тремя единицами… и так далее, до определенного числа единиц, так как начиная с некоторого количества единиц в билете, вероятность встретить такой билет крайне низка.

 

3. Сколько всего нужно таких билетов?

 

Ответ: Примерно 2530. Не думаю, что у кого-то больше денег, чем частиц во Вселенной. Разве что вы не играете на площадках США.

 

Конечно, такая задача далека от реальной «лотереи», с которой сталкивается фентезист Вася при сборе своих составов. В действительности у Васи есть вектор длиной в количество всех вышедших в основных составах футболистов (то есть X = x1x2….xN, где N равно количеству вышедших футболистов), у Васи есть куча ограничений, которые диктует ему площадка и здравый смысл. Вася почти не знает, с какой вероятностью и какой футболист обеспечит хоть какие-то очки в предстоящем матче.

Но эта задача хотя бы дает небольшое представление, о каком большом «мульти» идет речь, когда мы говорим о 99% вероятности отлично отыграть фентези-тур.

 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

Давайте теперь разберем другое важное понятие — математическое ожидание (англ. Expected value). Математическое ожидание это один из способов посчитать, сколько вы можете заработать или выиграть в той или иной ситуации (например, играя в покер).

Проще говоря, математическое ожидание — это средний выигрыш, который мы ожидаем в той или иной ситуации.

В самом простом случае (когда есть только два варианта: выигрыш и проигрыш) математическое ожидание вычисляется следующим образом:

EV = (вероятность выигрыша) * (сумма выигрыша) + (вероятность проигрыша) * (сумма проигрыша).

Рассмотрим такой пример. В турнире разыгрывается билет на более крупный предстоящий турнир стоимостью в €200. Стоимость билета в текущий турнир – €10. Места ограничены: их всего 1,000, а победитель всего один.

Таким образом имеем следующие цифры: если человек победит (с вероятностью 1/1000 = 0.001), то в денежном эквиваленте он будет иметь 200-10=€190, а если же проиграет (с вероятностью 999/1000 = 0.999), то потеряет $10.

Таким образом имеем следующую таблицу:

Исход Сумма Вероятность
Победа €190 0.001
Проигрыш -€10 0.999


Теперь посчитаем математическое ожидание:

EV = (вероятность выигрыша) * (сумма выигрыша) + (вероятность проигрыша) * (сумма проигрыша) = 0.001 * €190 + 0.999 * (-€10) = -€9.8

Таким образом, с точки зрения математического ожидания играть в этой лотерее не стоит, так как «выгода» отрицательна.

ROI

Перейдем теперь к еще одному важному понятию – ROI (return on investment) – рентабельность инвестиций.

Математически выражается как:

ROI — это коэффициент окупаемости вложений, то есть показывает эффективность того или иного дела, связанного с инвестициями.

 

Вход одной командой

Рассмотрим ROI в контексте одного фентези-турнира со взносом в €10, 10,000 общих входов, призовым фондом в размере €90,000 и лимитом в 100 входов на игрока.

Вы усиленно готовитесь и собираете лучший из возможных составов. Если Вы собираете «средние» составы, то ваш шанс победить составит 1 из 10 000. Выражая это в денежном эквиваленте, ваш доход составляет €9 (0.0001 от призового фонда). Тогда посчитаем ROI по формуле:
 

ROI = ((доход – инвестиции) / общий объем инвестиций) * 100% = (($9 - $10) / $10 ) * 100% = -10%.
 

Если турнир имеет оверлей (в соревновании суммарно менее 9,000 входов), то вы, как средний игрок, имели бы положительный ROI, так как ваш выигрыш составлял бы уже более 1 / 9000 от призового фонда (то есть более €10).

Теперь предположим, что вы более квалифицированный игрок, но тоже делаете один вход и строите лучший состав, какой только можете. Ваш шанс выиграть выше среднего — 1 из 5,000.

Теперь у вашего состава будет положительный ROI. Для простоты (хотя это предположение не совсем подходит для реальной игры), предположим, что ваше умение помогает в два раза чаще попадать на каждое призовое место в турнирах с гарантированным призовым фондом. Таким образом, вы в два раза чаще, чем средний состав, занимаете первое место, имеете вдвое больше шансов выиграть второй приз, и в два раза больше шансов выиграть 2,000-е место (последнее призовое). И, естественно, в два раза чаще попадаете на любое место между ними.

Ваш ROI в этом турнире составляет +80%. Вы можете быстро определить это с помощью наших предположений.

Средний игрок выигрывает в среднем €9 (0,0001 призового фонда). Имея двойные шансы на победу, вы выиграете 18$ (0,0002 призового фонда). Вычтите вступительный взнос в размере 10$, и вы получите 8$ за турнир, или 80% от вашего вступительного взноса.

Если ваш скилл в два раза выше, чем у среднего игрока, то ваш ROI огромен. А как обстоят дела у среднего игрока? Допустим, вы на 11,1% лучше, чем средний игрок. В этом случае вы выиграете $ 9,99 в среднем поставив 10$. Вы уже почти окупили свое участие в турнире.

Это первый момент, который я хочу отметить для турниров с мультивходами.

Если вы собираете составы не менее чем на 12% лучше чем средние, ваш  ROI будет положительным.

Это работает даже если вы заявляете всего одну команду в турнир где другие участники делают по 100 входов.

В конечном итоге, ваша прибыль зависит лишь от умения собирать составы лучше других игроков. Дистанция всё расставит по местам.. Делайте качественные составы — и у вас будет положительный ROI.

 

Несколько входов

Теперь представим, что мы можем делать несколько входов.

Ключевая концепция заключается в том, что ваши составы независимы и самоконкурентны. Давайте поймем, что это значит в рамках тех же условий: вы средний игрок в том же турнире. Пусть вы собрали два состава: A и B, они оба средние и не зависят друг от друга (игроки в них разные). Как было рассмотрено ранее, ROI каждого из этих двух составов по отдельности составляет -10%. Так как составы независимы, то подставляя в формулу расчета ROI, имеем все те же -10%:
 

ROI = ((доход – инвестиции) / общий объем инвестиций) * 100% = (($9*2 - $10*2) / $10*2 ) * 100% = -10%.
 

Их независимость здесь играет ключевую роль, иначе зачем тратить деньги на состав, который заведомо хуже другого, тем самым понижая ROI?

Теперь перейдем к понятию самоконкуренция. Самоконкуренция команд A и B выражается в том, что они оба не могут занять первое место (могут лишь разделить его).

Предположим, что за приз за первое место  €10,000$, а за второе — €4,000. Мы заявляем команды A и B в турнир, и они занимают первое и вторые места. Наш приз составит €14,000.

Теперь предположим, что мы можем клонировать этот турнир. Как будто бы существуют два одновременных и отдельных турнира с примерно одинаковыми полем и призовым фондом. Вы заявляете состав A в  первый турнир, а состав B во второй. То есть вы не совершаете мультивходов.

Поскольку состав A лучше, чем остальные заявленные составы, он финиширует первым. А как состав A был удален из другого турнира, состав B теперь тоже лучше, чем все остальные составы поля, он также оказывается на первом месте. Мы выигрываем €20,000.

Разница между победой в €20,000 в альтернативной вселенной и победой в €14,000 в реальной вселенной — это и есть затраты на самоконкуренцию. Вы можете думать об этом как о налоге, который вы платите за вход в один и тот же турнир несколько раз. 

Чтобы понять, насколько негативно может отразиться на ROI самоконкуренция, давайте представим крайний случай, когда мы заявляем в турнир два одинаковых состава.

Предположим, что составы заняли первое место. Поскольку составы набрали одинаковое количество очков, они разделяют €14,000 за первое и второе место. Это происходит примерно один раз из 10,000. В остальное время, составы выступают как выступал бы средний состав, если бы первый приз был бы равен нулю.

Таким образом, 99,99% времени совокупность составов будет иметь чистый выигрыш около €16$ (средний результат в €80,000 призового фонда — при удалении приза за первое место). Другие 0,01% времени совокупность составов будет иметь чистый выигрыш в €14,000. Это дает ожидаемый выигрыш:

ОВ = 0.9999 x €16 + 0.0001 x €14,000 = €17.40

Совокупный бай-ин для этих двух составов составляет €20, следовательно ROI составляет -13%. Фактическое число немного хуже, потому что самоконкурентные эффекты тоже понижают призовую структуру, но в данном контексте мы не будем это рассматривать.

Заявив одну и ту же среднюю команду, наш ROI упал с -10% до -13%. 3% разницы — это та самая цена самоконкурентности. Это расходы, которые вы платите за то, что ваши составы пытаются победить друг друга.

Когда вы заявляете первый состав, вы устанавливаете ROI. Если первый состав самый лучший, который вы можете создать, то каждый добавленный вами состав не может увеличить ваш ROI, так как составы независимы. Однако они могут снизить ROI за счет эффекта самоконкурентности.

Чем больше схожи ваши составы, тем выше налог на самоконкурентность, который вы платите.

Мы рассмотрели ROI при одном или нескольких входах для среднего игрока. А что, если игрок настолько хорош, что его ROI от одного состава составляет порядка 80%? Очевидно, что большое количество входов усложняет сбор составов, так как за ними становится все сложнее уследить. Тогда зачем же топовые игроки делают мультивходы? Все просто – в конечном итоге фентезиста волнует результат в денежном эквиваленте, ведь получить выигрыш с ROI в 20% от €1,000 (много самоконкурирующих команд) гораздо приятнее, чем выигрыш в 80% от €10 (одна команда собранная гораздо лучше поля).

 

Резюме

Мы обсудили различные показатели, от которых каждый фентезист может отталкиваться при сборе составов. Делать мультивходы или нет – решать вам. В конечном итоге ключевым моментом остается качественная подготовка к турнирам. Стремитесь собирать команды лучше средних и учитесь регулировать количество своих входов для выхода на максимально возможный для вас ROI. 

Meitantei
Автор

Meitantei